Las Relaciones Metricas en el Triangulo Rectangulo son teoremas o propiedades, que son validas exclusivamente en el triangulo rectangulo y se aplican sobre las dimensiones de los catetos, hipotenusa, la altura relativa a la hipotenusa y los segmentos determinados sobre esta como proyecciones de los catetos de triangulo.
Dado el triangulo rectangulo ABC, con su angulo recto en C, donde:
c es la hipotenusa
b la altura relativa a la hipotenusa
p y q los segmentos determinados a la hipotenusa
TEOREMAS
Teorema de Pitagoras:
Filosofo y matematico Griego. 582 a.c.-507a.c. Este teorema lleva este nombre porque fue descubierto en la escuela pitagorica. Anteriormente, en Mesopotamia y en el Antiguo Egipto se conocia temas de valores que correspondian con los lados de un triangulo rectangulo, y se utilizaban para resolver problemas con dichos triangulos. La piramide de Kefren fue construida basandose en el triguangulo sagrado egipcio, de proporciones 3-4-5.
Teorema de Euclides:
Matematico y geometra griego, 300 a.c.- 265 a.c. Se desprenden tres relaciones. Estas relaciones se aplican sobre las dimensiones de los catetos, la hipotenusa, la altura relativa a la hipotenusa y los segmentos determinados sobre esta como proyecciones de los catetos
PROPIEDADES
TEOREMA FUNDAMENTAL:
Establecemos la proporción entre sus lados correspondientes:
En cualquier triángulo rectángulo, el producto de las medidas de sus catetos es igual al producto de la medida de la hipotenusa por la medida de la altura relativa a la hipotenusa.
Teorema referido a los catetos:
- En los triángulos rectángulos semejantes CAB y AHB , analizamos la proporción:
- En los triángulos rectángulos semejantes CAB y AHC, analizamos la proporción:
En cualquier triángulo rectángulo , el cuadrado de la medida de un cateto es igual al producto de la medida de la hipotenusa por la medida de la proyección ortogonal de ese cateto sobre la hipotenusa.
- BH es la proyección ortogonal del cateto AB sobre la hipotenusa. Su medida es m.
- HC es la proyección ortogonal del cateto AC sobre la hipotenusa. Su medida es n.
Teorema referido a la altura:
Los triángulos rectángulos AHB y AHC son semejantes :
- Analizamos la proporción :
En cualquier triángulo rectángulo, el cuadrado de la medida de la altura relativa a la hipotenusa es igual al producto de las medidas de las proyecciones ortogonales de los catetos sobre la hipotenusa.
Teorema de Pitágoras:
Observa el triángulo rectángulo CAB:
- Por el Teorema referido a los catetos:
- Sumamos miembro a miembro:
Factorizamos:
En cualquier triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la medida de la hipotenusa.
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