LEMA DE THALES

Lema: Sean A₁, A₂, B₁, B₂ cuatro puntos en el plano afín con A₁ distinto de B₁. Entonces son equivalentes:

    (a) Las rectas A₁B₁ y A₂B₂ son paralelas o A₂=B₂.

    (b) El vector A₁A₂+B₂B₁ es un múltiplo escalar de A₁B₁.

Demostración: Cualquiera de las condiciones de (a) implica que existe un escalar h tal que A₂B₂=h·A₁B₁; es decir,  A₂A₁+A₁B₂=h·A₁B₁; de donde A₂A₁+B₁A₁+A₁B₂=h·A₁B₁+B₁A₁, y por tanto, A₂A₁+B₁B₂=(h-1)·A₁B₁.

Recíprocamente, si existe un escalar h tal que A₂A₁+B₁B₂=h·A₁B₁, entonces A₂B₂=(h+1)·A₁B₁; si h+1=0 entonces A₂=B₂ y en otro caso A₁B₁ y A₂B₂ son paralelas.

Teorema: En un plano afín, sean r_i (i=1,2,3) rectas paralelas distintas dos a dos, y sean s,t rectas no paralelas a las anteriores. Sean S_i y T_i los puntos de corte de r_i con s y t, respectivamente. Entonces el segmento S₁S₂ es a S₁S₃ como T₁T₂ es a T₁T₃.

Demostración: Por las condiciones del problema, se tiene a lo sumo una igualdad S_i=T_i para un solo i, y podemos asumir que S_i es distinto de T_i para i=2 pues en otro caso intercambiamos los papeles de r_i y r₂. Los vectores S₁S₂ y S₁S₃ son no nulos y están en s, luego existe un escalar a tal que S₁S₃=a·S₁S₂. Sea T₀=T₁+a·T₁T₂, es decir se tiene T₁T₀=a·T₁T₂. Como r₁ (o sea S₁T₁) es paralela a r₂ (o sea S₂T₂), el lema nos da un escalar h tal que S₁S₂+T₂T₁=h·S₁T₁. Entonces se tiene S₁S₃+T₀T₁=S₁S₃+a·T₂T₁=h·S₁T₁, y de nuevo el lema nos dice que o bien S₁T₁ y S₃T₀ son paralelas o bien S₃=T₀. La primera opción implica que S₃T₀ es r₃ (la única paralelas a r₁ que pasa por S₃) y por lo tanto T₀=T₃ (ambos son la intersección de r₃ con t). La segunda también implica que T₀=T₃, pues de lo contrario t sería T₀T₃, o sea S₃T₃, o sea r₃, contra la hipótesis de que t no es paralela a las r_i. Tenemos así S₁S₃=a·S₁S₂ y T₁T₃=a·T₁T₂, lo que nos da el resultado.