MODELO DE CONTRATO DE OBRA

RELACIONES METRICAS

Las Relaciones Metricas en el Triangulo Rectangulo son teoremas o propiedades, que son validas exclusivamente en el triangulo rectangulo y se aplican sobre las dimensiones de los catetos, hipotenusa, la altura relativa a la hipotenusa y los segmentos determinados sobre esta como proyecciones de los catetos de triangulo.

Dado el triangulo rectangulo ABC, con su angulo recto en C, donde:

c es la hipotenusa

b la altura relativa a la hipotenusa

p y q los segmentos determinados a la hipotenusa

TEOREMAS

Teorema de Pitagoras:

Filosofo y matematico Griego. 582 a.c.-507a.c. Este teorema lleva este nombre porque fue descubierto en la escuela pitagorica. Anteriormente, en Mesopotamia y en el Antiguo Egipto se conocia temas de valores que correspondian con los lados de un triangulo rectangulo, y se utilizaban para resolver problemas con dichos triangulos. La piramide de Kefren fue construida basandose en el triguangulo sagrado egipcio, de proporciones 3-4-5.

Teorema de Euclides:

Matematico y geometra griego, 300 a.c.- 265 a.c. Se desprenden tres relaciones. Estas relaciones se aplican sobre las dimensiones de los catetos, la hipotenusa, la altura relativa a la hipotenusa y los segmentos determinados sobre esta como proyecciones de los catetos

PROPIEDADES

TEOREMA FUNDAMENTAL:

En el triángulo rectángulo CAB, se traza la altura relativa a la hipotenusa. Observamos que los triángulos rectángulos CAB y AHB son semejantes.

Establecemos la proporción entre sus lados correspondientes:

En cualquier triángulo rectángulo, el producto de las medidas de sus catetos es igual al producto de la medida de la hipotenusa por la medida de la altura relativa a la hipotenusa.

Teorema referido a los catetos:

• En los triángulos rectángulos semejantes CAB y AHB , analizamos la proporción:

• En los triángulos rectángulos semejantes CAB y AHC, analizamos la proporción:

En cualquier triángulo rectángulo , el cuadrado de la medida de un cateto es igual al producto de la medida de la hipotenusa por la medida de la proyección ortogonal de ese cateto sobre la hipotenusa.

• BH es la proyección ortogonal del cateto AB sobre la hipotenusa. Su medida es m.




• HC es la proyección ortogonal del cateto AC sobre la hipotenusa. Su medida es n.

Teorema referido a la altura:

Los triángulos rectángulos AHB y AHC son semejantes :

• Analizamos la proporción :

En cualquier triángulo rectángulo, el cuadrado de la medida de la altura relativa a la hipotenusa es igual al producto de las medidas de las proyecciones ortogonales de los catetos sobre la hipotenusa.

Teorema de Pitágoras:

Observa el triángulo rectángulo CAB:

• Por el Teorema referido a los catetos:





• Sumamos miembro a miembro:
  

Factorizamos:

En cualquier triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la medida de la hipotenusa.

SEMEJANZA DE TRIANGULOS

Semejanza de triángulos

• Teoría

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Los lados a y a', b y b', c y c' se llaman lados homólogos.

Son ángulos homólogos:

Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos homólogos iguales y sus lados homólogos proporcionales.

       

La razón de la proporción entre los lados de los triángulos se llama razón de semejanza.

La razón de los perímetros de los triángulos semejantes es igual a su razón de semejanza.

La razón de las áreas de los triángulos semejantes es igual al cuadrado de su razón de semejanza.

LEMA DE THALES

Lema: Sean A₁, A₂, B₁, B₂ cuatro puntos en el plano afín con A₁ distinto de B₁. Entonces son equivalentes:

    (a) Las rectas A₁B₁ y A₂B₂ son paralelas o A₂=B₂.

    (b) El vector A₁A₂+B₂B₁ es un múltiplo escalar de A₁B₁.

Demostración: Cualquiera de las condiciones de (a) implica que existe un escalar h tal que A₂B₂=h·A₁B₁; es decir,  A₂A₁+A₁B₂=h·A₁B₁; de donde A₂A₁+B₁A₁+A₁B₂=h·A₁B₁+B₁A₁, y por tanto, A₂A₁+B₁B₂=(h-1)·A₁B₁.

Recíprocamente, si existe un escalar h tal que A₂A₁+B₁B₂=h·A₁B₁, entonces A₂B₂=(h+1)·A₁B₁; si h+1=0 entonces A₂=B₂ y en otro caso A₁B₁ y A₂B₂ son paralelas.

Teorema: En un plano afín, sean r_i (i=1,2,3) rectas paralelas distintas dos a dos, y sean s,t rectas no paralelas a las anteriores. Sean S_i y T_i los puntos de corte de r_i con s y t, respectivamente. Entonces el segmento S₁S₂ es a S₁S₃ como T₁T₂ es a T₁T₃.

Demostración: Por las condiciones del problema, se tiene a lo sumo una igualdad S_i=T_i para un solo i, y podemos asumir que S_i es distinto de T_i para i=2 pues en otro caso intercambiamos los papeles de r_i y r₂. Los vectores S₁S₂ y S₁S₃ son no nulos y están en s, luego existe un escalar a tal que S₁S₃=a·S₁S₂. Sea T₀=T₁+a·T₁T₂, es decir se tiene T₁T₀=a·T₁T₂. Como r₁ (o sea S₁T₁) es paralela a r₂ (o sea S₂T₂), el lema nos da un escalar h tal que S₁S₂+T₂T₁=h·S₁T₁. Entonces se tiene S₁S₃+T₀T₁=S₁S₃+a·T₂T₁=h·S₁T₁, y de nuevo el lema nos dice que o bien S₁T₁ y S₃T₀ son paralelas o bien S₃=T₀. La primera opción implica que S₃T₀ es r₃ (la única paralelas a r₁ que pasa por S₃) y por lo tanto T₀=T₃ (ambos son la intersección de r₃ con t). La segunda también implica que T₀=T₃, pues de lo contrario t sería T₀T₃, o sea S₃T₃, o sea r₃, contra la hipótesis de que t no es paralela a las r_i. Tenemos así S₁S₃=a·S₁S₂ y T₁T₃=a·T₁T₂, lo que nos da el resultado.

TRIANGULOS NOTABLES

Triángulos Notables

Son aquellos triángulos  que a partir de la razón de dos de sus lados se pueden calcular su tercer lado y la medida de sus ángulos internos. Sólo existen dos triángulos rectángulos notables  de medidas exactas y son aquellos  que se deducen del triángulo equilátero y del cuadrado, estos son  los de 30°, 60° y de 45°.

Triángulo Notable de 45º

Triángulo Notable de 30º y 60º

TEOREMA DE PITAGORAS

Teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (los dos lados menores del triángulo, los que conforman el ángulo recto).

Teorema de Pitágoras En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Pitágoras de Samos

Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes  y , y la medida de la hipotenusa es , se establece que:

(1)

 Los triángulos rectángulos ABC, AHC y BHC tienen sus tres bases iguales: todos tienen dos bases en común, y los ángulos agudos son iguales bien por ser comunes, bien por tener sus lados perpendiculares. En consecuencia dichos triángulos son semejantes.

• De la semejanza entre ABC y AHC:

y dos triángulos son semejantes si hay dos o más ángulos congruentes.

• De la semejanza entre ABC y BHC:

Los resultados obtenidos son el teorema del cateto. Sumando:

Pero , por lo que finalmente resulta:

La relación entre las superficies de dos figuras semejantes es igual al cuadrado de su razón de semejanza. En esto pudo haberse basado Pitágoras para demostrar su teorema

Pitágoras también pudo haber demostrado el teorema basándose en la relación entre las superficies de figuras semejantes.

Los triángulos PQR y PST son semejantes, de manera que:

siendo r la razón de semejanza entre dichos triángulos. Si ahora buscamos la relación entre sus superficies:

obtenemos después de simplificar que:

pero siendo  la razón de semejanza, está claro que:

Es decir, "la relación entre las superficies de dos figuras semejantes es igual al cuadrado de la razón de semejanza".

Aplicando ese principio a los triángulos rectángulos semejantes ACH y BCH tenemos que:

que de acuerdo con las propiedades de las proporciones da:

 (I)

y por la semejanza entre los triángulos ACH y ABC resulta que:

pero según (I) , así que:

y por lo tanto:

quedando demostrado el teorema de Pitágoras.

Los cuadrados compuestos en el centro y a la derecha tienen áreas equivalentes. Quitándoles los triángulos el teorema de Pitágoras queda demostrado.

Es asimismo posible que Pitágoras hubiera obtenido una demostración gráfica del teorema.

Partiendo de la configuración inicial, con el triángulo rectángulo de lados a, b, c, y los cuadrados correspondientes a catetos e hipotenusa –izquierda-, se construyen dos cuadrados diferentes:

• Uno de ellos –centro- está formado por los cuadrados de los catetos, más cuatro triángulos rectángulos iguales al triángulo inicial.
• El otro cuadrado –derecha- lo conforman los mismos cuatro triángulos, y el cuadrado de la hipotenusa.

Si a cada uno de estos cuadrados les quitamos los triángulos, evidentemente el área del cuadrado gris () equivale a la de los cuadrados amarillo y azul (), habiéndose demostrado el teorema de Pitágoras.

De la ecuación (1) se deducen fácilmente 3 corolarios de aplicación práctica: